Osnova témat

  • B3M35NES - Nelineární systémy - Nonlinear Systems

    Cílem tohoto předmětu je seznámit posluchače se základy moderních přístupů v teorii a aplikacích nelineárního řízení. Základní rozdíl oproti lineárním systémům je ten, že stavový přístup převládá, neboť frekvenční je v nelineární teorii téměř nepoužitelný. Stavové modely jsou pak založeny na obyčejných diferenciálních rovnicích, a proto je součastí úvod do metod řešení a kvalitativního posuzování obyčejných diferenciálních rovnic, především jejich stability. Proto bude probrána především metoda Ljapunovovy funkce, která umožňuje i analýzu stability nelineárního systému. Pro návrh stabilizujícího řízení bude probrána metoda backsteppingu, která využívá tzv. řízené Ljapunovské funkce. Důraz však bude kladen na metody transformace stavových modelů nelineárních systémů do jednoduššího tvaru tak, aby bylo možné využít zavedených postupů pro lineární systémy, a to po určité nezbytné úpravě. Tomuto přístupu proto říkáme přesná kompenzace nelinearit. Od metody přibližné linearizace se liší tím, že nelinearity neignoruje, nýbrž, pokud možno co nejpřesněji, kompenzuje jejich vliv. Budou probrány i některé zajímavé příklady, jako řízení rovinného modelu letadla s kolmým startem a přistáním ("planar VTOL"), anebo jednoduchého rovinného kráčejícího robota. Posluchač kurzu se rovněž seznámí se základy chaotických systémů a některými jejich příklady.

    Obsah přednášek

    1. Stavový popis nelineárního dynamického systému. Zvláštnosti nelineárních systémů a typické nelineární jevy. Příklady přírodních a technických systémů modelovaných nelineárními systémy.
    2. Matematické základy stavových metod pro nelineárních systémy. Definice a metody analýzy stability stavového modelu. Přibližná linearizace a metoda Ljapunovovy funkce.
    3. Invariantní množiny a princip LaSalle. Exponenciální stabilita. Analýza vlivu aditivních poruch na asymptoticky, resp. exponenciálně stabilní nelineární systém.
    4. Stabilizace nelineárních systémů zpětnou vazbou pomocí řízené Ljapunovské funkce. "Backstepping".
    5. Syntéza řízení nelineárních systémů pomocí strukturálních metod: úvod, základní pojmy a definice přesné transformace systémů.
    6. Strukturální metody a různé typy přesné linearizace. Nulová dynamika a minimalita ve fázi.
    7. Systémy s jedním vstupem a jedním výstupem: relativní stupeň, linearizace vstup-výstup, zjišťování nulové dynamiky a minimality ve fázi.
    8. Systémy s jedním vstupem a jedním výstupem: příklady.
    9. Systémy s více vstupy a výstupy: vektorový relativní stupeň, linearizace vstup-výstup a decoupling (odstranění vzájemných interakcí mezi vstupy).
    10. Systémy s více vstupy a výstupy: nulová dynamika, minimalita ve fázi.
    11. Systémy s více vstupy a výstupy: příklady.
    12. Systémy s více vstupy a výstupy: dynamická zpětná vazba, příklad jejího využití pro rovinný model letadla s kolmým startem a přistáním. Další příklady praktického využití exaktní linearizace.
    13. Chaotické systémy a další složité nelineární jevy.

    Náplň cvičení:

    1. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Příklady nelineárních dynamických systémů, jejích řízení za pomoci přesné linearizace. Porovnání řízení na bázi přibližné a přesné linearizace.
    2. Analýza stability nelineárních dynamických systémů. Ljapunovova funkce a princip La Salle.
    3. Řízení s využitím Ljapunovovy funkce a backstepping.
    4. Lieova derivace a její výpočet.
    5. Přesná linearizace dynamických systémů s jedním vstupem a výstupem.
    6. Přesná linearizace dynamických systémů s více vstupy a výstupy.

    The goal of this course is to introduce basics of the modern approaches to the theory and applications of nonlinear control. Fundamental difference when dealing with nonlinear systems control compared with linear case is that the state space approach prevails. Indeed, the frequency response approach is almost useless in nonlinear control. State space models are based mainly on ordinary differential equations, therefore, an introduction to solving these equations is part of the course.  More importantly, the qualitative methods for ordinary differential equations will be presented, among them Lyapunov stability theory is crucial. More specifically, the focus will be on Lyapunov function method enabling to analyse stability of nonlinear systems, not only that of linear ones. Furthemore, stabilization desing methods will be studied in detail, among them the so-called control Lyapunov function concept and related backstepping method. Special stress will be, nevertheless, given by this course to introduce and study methods how to transform complex nonlinear models to simpler forms where more standard linear methods would be applicable. Such an approach is usually refered to as the so-called exact nonlinearity compensation. Contrary to the well-known approximate linearization this method does not ignore nonlinearities but compensates them up to the best possible extent. The course introduces some interesting case studies as well, e.g. the planar vertical take off and landing plane ("planar VTOL"), or a simple 2-dimensional model of the walking robot. Finally, the course introduces basics of chaotic systems theory and some their examples.

         
    Lectures content 
    1. State space description of the nonlinear dynamical system. Specific nonlinear properties and typical nonlinear phenomena. Examples of natural and technological systems modelled using nonlinear systems.
    2. Mathematical basics of the state space methods for the nonlinear systems. Definition of stability and its investigation methods. Approximate linearization method and Lyapunov function method.
    3.  Invariant sets and LaSalle principle. Exponential stability. Analysis of additive perturbations influence on asymptotically and exponentially stable nonlinear systems.
    4. Feedback stabilization of nonlinear systems based on control Lyapunov function. "Backstepping".
    5. Control design using structural methods:  introduction, basic notions and definition of the exact system transformations.
    6. Structural methods and various types of the exact linearization. Zero dynamics and minimum phase property.
    7. Single-input single-output systems: relative degree, input-output linearization, zero dynamics computation and minimum phase property test.
    8. Single input single output systems: examples.
    9. Multi-input multi-output systems: vector relative degree, input-output linearization and decoupling.
    10. Multi-input multi-output systems:  zero dynamics computation and minimum phase property test.
    11. Multi-input multi-output systems: examples.
    12. Multi-input multi-output systems: dynamical feedback, example of its application in the case study of the planar vertical take-off and landing plane. Further examples of the practical applications of the exact linearization.
    13. Chaotical systems and further complex nonlinear phenomena.     
         
    Seminars content        

    1. Solving ordinary differential equations. Examples of nonlinear dynamical systems, their control based on exact linearization. Comparision of the exact linearization and aproximate linearization based control designs.
    2.  Nonlinear dynamical systems stability analysis. Lyapunov function and LaSalle principle.
    3. Control using Lyapunov function. Backstepping.
    4. Lie derivative and its computation.
    5. Exact feedback linearization of single-input single-output nonlinear dynamical systems.
    6. Exact feedback linearization of multi-input multi-output nonlinear dynamical systems.

    Hodnocení:

    Zápočet

    bude udělen na základě domácích úloh. Účast na cvičeních je povinná, případnou neúčast je třeba cvičícímu předem omluvit. Na každém cvičení, vyjma posledního, bude všem uložena domácí úloha. Úlohu je třeba odevzdat řádně a písemně vypracovanou do následujícího cvičení. Způsob odevzdání bude upřesňován. Bez ohledu na omluvenou neúčast, k udělení zápočtu je třeba vypracovat a odevzdat všechny domácí úlohy, s výjimkou nejvýše jedné úlohy. Úlohy, které budou vypracovány nedbale a nedostatečně budou považovány za nevypracované.

    Zkouška

    Sestává z písemné a ústní části, písemná část je povinná, ústní dobrovolná. V písemné části jsou řešeny příklady a potrvá 3 hodiny. Odevzdaná řešení budou bodově ohodnocena s celkovým součtem od 0 do 100 bodů. Je možné používat literaturu a kopie projekčních materiálů přednášek.

    V následné ústní části je možné získat dalších až 25 bodů, ale také až 25 bodů ztratit. Budou v ní rozebrána řešení z písemné části a teoretické znalosti s nimi související a zadáno jedno téma ze seznamu otázek, který bude zveřejněn ke konci přednáškového období. Toto téma je možné si připravit během max. 20 minut s možným použitím literatury a kopií projekčních materiálů přednášek. Během samotného ústního pohovoru je ale možné pouze krátce nahlížet do poznámek připravených během zmíněných 20 minut.

    Během písemné části, ani během přípravy na ústní část, není možné používat mobilní telefony a internet, proto také není možné používat cokoliv, co by mohlo, byť jen hypoteticky, připojení na internet poskytnout.

    Celkové hodnocení bude vycházet z počtu získaných bodů následovně

    0 - 50 F
    51 - 60 E
    61 - 70 D
    71 - 80 C
    81 - 90 B
    91 - 100 A

    Evaluation

    Assesment

    Evaluation will be done based on homeworks. Participation in seminars is obligatory. If there are serious reasons for missing the seminar, it should be notified before the particular seminar. At the end of each seminar, homework will be given. All homeworks should be delivered by the given deadline and should be presented in writings, in a clear and legible way. Mistakes are acceptable but it should be visible that homework was performed with sufficient care. Otherwise, it can not be counted for.

    Exams

    There will be obligatory written test having duration of 3 hours. Total number of points that can be earned in the written test is 100. During the written test it is possible to use any printed material, but no online access or connection is allowed.

    After evaluating the written test, there will be short interview to clarify possible issues. In addition, the detailed voluntary interview is possible, based on it one can earn up to additional 25 points, but to loose 25 points as well. For the detailed interview, selected topic will be given and 20 minutes to prepare for it. During preparation it is possible to consult printed material, but no online access or connection is allowed. During the interview, only notes made during 20 minutes of preparation can be used.

    Final evaluation marks are based on the total number of points earned as follows
    0 - 50 F
    51 - 60 E
    61 - 70 D
    71 - 80 C
    81 - 90 B
    91 - 100 A

       

  • Lectures

  • Seminars

    • Homeworks

    • Literature

      S. Čelikovský, Nelineární systémy, Vydavatelství FEL ČVUT, 2006.

      In Czech only. Možno zakoupit v prodejně skript ČVUT.

      H.K. Khalil, Nonlinear Systems, Third Edition, Prentice Hall, 2002.

      Available in library