Moodle FEL ČVUT
Pokročilá analýza
B241 - Zimní 24/25
Pokročilá analýza - B0B01PAN
| Kredity | 6 |
| Semestry | letní |
| Zakončení | zápočet a zkouška |
| Jazyk výuky | čeština |
| Rozsah výuky | 2P+2S |
Anotace
Předmět je úvodem do teorie míry a integrace a základů funkcionální analýzy. V první části je vyložena teorie Lebesgueova integrálu. Další partie jsou věnovány základním pojmům teorie Banachových a Hilbertových prostorů a jejich spojitosti s harmonickou analýzou. Poslední část se zabývá spektrální teorii operátorů a jejími aplikacemi v maticové analýze.
Cíle studia
None
Osnovy přednášek
1. Algebry a okruhy podmnožin. Měřitelné funkce. Míra na sigma-algebře.
2. Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny.
3. Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál.
4. Konvergenční věty.
5. Součinová míra. Fubiniho věta.
6. Integrace v R^n - věta o substituci.
7. Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru.
8. Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta.
9. Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta.
10. Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce.
11. Diagonalizace normálního operátoru a matice.
12. Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD.
13. Funkce operátoru a matice.
14. Rezerva.
2. Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny.
3. Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál.
4. Konvergenční věty.
5. Součinová míra. Fubiniho věta.
6. Integrace v R^n - věta o substituci.
7. Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru.
8. Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta.
9. Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta.
10. Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce.
11. Diagonalizace normálního operátoru a matice.
12. Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD.
13. Funkce operátoru a matice.
14. Rezerva.
Osnovy cvičení
1. Algebry a okruhy podmnožin. Měřitelné funkce. Míra na sigma-algebře.
2. Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny.
3. Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál.
4. Konvergenční věty.
5. Součinová míra. Fubiniho věta.
6. Integrace v R^n - věta o substituci.
7. Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru.
8. Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta.
9. Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta.
10. Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce.
11. Diagonalizace normálního operátoru a matice.
12. Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD.
13. Funkce operátoru a matice.
14. Rezerva.
2. Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny.
3. Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál.
4. Konvergenční věty.
5. Součinová míra. Fubiniho věta.
6. Integrace v R^n - věta o substituci.
7. Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru.
8. Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta.
9. Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta.
10. Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce.
11. Diagonalizace normálního operátoru a matice.
12. Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD.
13. Funkce operátoru a matice.
14. Rezerva.
Literatura
[1] Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, 1977
[2] Kreyszig, E.: Introductory functional analysis with applications, Wiley 1989
[3] Lukeš, L.: Jemný úvod do funkcionální analýzy, Karolinum, 2005
[4] Meyer, C.D.: Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM 2001.
[2] Kreyszig, E.: Introductory functional analysis with applications, Wiley 1989
[3] Lukeš, L.: Jemný úvod do funkcionální analýzy, Karolinum, 2005
[4] Meyer, C.D.: Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM 2001.
Požadavky
Předmět je zakončen standardně zápočtem a zkouškou. Podmínkou pro získání zápočtu je aktivní účast na výuce. Hodnocení předmětu bude záviset na zkoušce samotné. Zkouška je ústní a je při ní zkoušena probraná látka. Další informace viz https://math.fel.cvut.cz/en/people/sobotik/vyuka/b0b01pan