Kapitoly z vyšší matematiky

B232 - Letní 23/24

Kapitoly z vyšší matematiky - XP33CHM

Kredity 4
Semestry neurčena
Zakončení zkouška
Jazyk výuky angličtina
Rozsah výuky 2P
Anotace
Přednáška přináší některé hlubší výsledky z řady matematických disciplín. Cílem předmětu je umožnit studentům pracovat s výsledky vyšší aplikované matematiky. Samotný obsah předmětu se skládá ze základních výsledků (principů) současné matematiky. Konkrétní náplní bude Stoneova reprezentační věta pro Booleovy algebry (v souvislosti s matematickou logikou a teorií pravděpodobnosti), Banachova věta o pevném bodě pro úplné metrické prostory (v souvislosti s numerickou matematikou), Tichonovova věta o součinu kompaktních prostorů (v souvislosti s teorií míry), Rieszova reprezentační věta o lineárních formách v Hilbertově prostoru (v souvislosti s teorií optimalizace), Browerova věta o spojitém zobrazení simplexů (v souvislosti s lineární algebrou – věta Perronova o vlastních číslech matice), některé pojmy z teorie kategorií pro uživatele, atd. Další obecný přínos předmětu by mělo být jisté povzbuzení studentů v jejich výzkumné práci. Následující seznam naznačuje základní pojmy a oblasti studia tohoto předmětu (konkrétní výběr závisí na zájmu studentů).
Cíle studia
Žádná data.
Osnovy přednášek
1. Úvod, metrické prostory
2. Souvislost a křivková souvislost v metrických prostorech
3. Kompaktní metrické prostory
4. Úplné metrické prostory a Banachova věta o pevném bodě
5. Elementární důkaz Základní věty algebry
6. Svazy a Booleovy algebry
7. Stoneova reprezentační věta pro Booleovy algebry
8. Rozšiřování stavů na Booleových algebrách (aplikace Tichonovovy věty)
9. Kategorie a morfismy
10. Normované a Hilbertovy prostory
11. Rieszova reprezentační věta pro lineární formy v Hilbertově prostoru
12. Spernerovo lemma
13. Browerova věta o pevném bodě pro spojitá zobrazení na konvexních množinách v Rn
14. Aplikace Browerovy věty: Perronova věta o vlastních číslech matice
Osnovy cvičení
Žádná data.
Literatura
Povinná literatura:
Hoggar, S. G.:Mathematics for computer graphics. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.
Doporučená literatura:
Rudin, W.: The Principles of Mathematical Analysis 3rd Edition. McGraw-Hill Publishing Company, 2006
Požadavky
Žádná data.