Moodle FEL ČVUT
Proseminář z matematické analýzy
B242 - Letní 24/25
Tento předmět se nenachází v Moodle. Na jeho domovskou stránku se můžete dostat pomocí tlačítka "Stránka kurzu (mimo Moodle)" vpravo (pokud existuje).
Proseminář z matematické analýzy - B0B01PMA
| Kredity | 2 |
| Semestry | zimní |
| Zakončení | Zápočet |
| Jazyk výuky | čeština |
| Rozsah výuky | 2C+2D |
Anotace
Účelem předmětu je posílení a rozšíření znalostí v oblasti matematické analýzy jedné reálné proměnné. Náplní je demonstrace a procvičení jak typických početních technik, tak důležitých logických postupů využívaných v analýze i v dalších matematických disciplínách. K těmto teoretickým základům patří zejména pochopení smyslu matematického důkazu, schopnost zobecnění různých výsledků na základě společných vlastností i opačná schopnost použití abstraktních výsledků na konkrétní problém. Posluchačům s hlubším zájmem o problematiku také předmět nabízí rozšiřující informace a složitější problémy. Cílem je jednak zlepšit předpoklady pro další studium matematických předmětů, ale rovněž prohloubit schopnost samostatně využívat pokročilejšího matematického aparátu k řešení praktických problémů.
Cíle studia
None
Osnovy přednášek
None
Osnovy cvičení
1) grafy elementárních funkcí (mocniny, absolutní hodnota), transformace grafu, základní typy matematického důkazu, kvantifikátory, důkazy indukcí (sčítací formule, důsledky binomické věty, Bernoulli)
2) monotonní a omezené posloupnosti a funkce, supremum, limita, smysl srovnávacích limit, spočetné a nespočetné množiny
3) základní techniky výpočtu limit posloupností (aritmetika limit, odhady, omezené posloupnosti, rozdíl odmocnin), alternativní zavedení exponenciály a goniometrických funkcí, Heineho, Bolzanova–Cauchyho věta, Bolzanova–Weierstrassova věta
4) limity funkcí s parametrem, racionální funkce, inverzní funkce a jejich grafy, technika vybírání posloupností
5) smysl srovnávacích limit funkcí, limity funkcí typu f^g, spojitost, složitější limity, teoretické výsledky o limitách
6) derivace funkcí typu f^g a funkcí s parametrem, l’Hospital, teoretické aspekty diferencovatelnosti a spojitosti
7) srovnávací limity, pasti na l’Hospitala, důkazy těžších vět o diferencovatelnosti a spojitosti
8) Taylorův polynom, složitější limity postavené na taylorovských odhadech
9) průběh funkce, vlastnosti konvexních funkcí
10) integrace racionálních funkcí, kombinace substituce a jiných metod, opakované per-partes, důkaz a modifikace zakrývacího pravidla
11) určitý integrál a jeho smysl, integrace kladných a záporných funkcí, odhady integrálu, stejnoměrná konvergence
12) zobecněný určitý integrál, další odhady integrálu, integrace funkcí definovaných po
částech, alternativní zavedení určitého integrálu
13) konvergence číselných řad, srovnávací odhady, složitější odhady pro konvergenci pomocí srovnávání a l’Hospitala
14) konvergence číselných řad, rezerva
2) monotonní a omezené posloupnosti a funkce, supremum, limita, smysl srovnávacích limit, spočetné a nespočetné množiny
3) základní techniky výpočtu limit posloupností (aritmetika limit, odhady, omezené posloupnosti, rozdíl odmocnin), alternativní zavedení exponenciály a goniometrických funkcí, Heineho, Bolzanova–Cauchyho věta, Bolzanova–Weierstrassova věta
4) limity funkcí s parametrem, racionální funkce, inverzní funkce a jejich grafy, technika vybírání posloupností
5) smysl srovnávacích limit funkcí, limity funkcí typu f^g, spojitost, složitější limity, teoretické výsledky o limitách
6) derivace funkcí typu f^g a funkcí s parametrem, l’Hospital, teoretické aspekty diferencovatelnosti a spojitosti
7) srovnávací limity, pasti na l’Hospitala, důkazy těžších vět o diferencovatelnosti a spojitosti
8) Taylorův polynom, složitější limity postavené na taylorovských odhadech
9) průběh funkce, vlastnosti konvexních funkcí
10) integrace racionálních funkcí, kombinace substituce a jiných metod, opakované per-partes, důkaz a modifikace zakrývacího pravidla
11) určitý integrál a jeho smysl, integrace kladných a záporných funkcí, odhady integrálu, stejnoměrná konvergence
12) zobecněný určitý integrál, další odhady integrálu, integrace funkcí definovaných po
částech, alternativní zavedení určitého integrálu
13) konvergence číselných řad, srovnávací odhady, složitější odhady pro konvergenci pomocí srovnávání a l’Hospitala
14) konvergence číselných řad, rezerva
Literatura
[1] W. J. Kaczor, M. T. Nowak: Problems in Mathematical Analysis I, II, III. AMS 2000, 2001, 2003.
[2] J. Stewart, D. K. Clegg, S. Watson: Single Variable Calculus, 9th Ed. Cengage Learning 2020.
[3] J. Haas, C. Heil, M. D. Weir, P. Bogacki: Thomas’ Calculus, 15th Ed. Pearson 2022.
[3] J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. ČVUT 2011.
[2] J. Stewart, D. K. Clegg, S. Watson: Single Variable Calculus, 9th Ed. Cengage Learning 2020.
[3] J. Haas, C. Heil, M. D. Weir, P. Bogacki: Thomas’ Calculus, 15th Ed. Pearson 2022.
[3] J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. ČVUT 2011.
Požadavky
None