Topic outline

  • B3M35NES - Nelineární systémy - Nonlinear Systems

    Cílem tohoto předmětu je seznámit posluchače se základy moderních přístupů v teorii a aplikacích nelineárního řízení. Základní rozdíl oproti lineárním systémům je ten, že stavový přístup převládá, neboť frekvenční je v nelineární teorii téměř nepoužitelný. Stavové modely jsou pak založeny na obyčejných diferenciálních rovnicích, a proto je součastí úvod do metod řešení a kvalitativního posuzování obyčejných diferenciálních rovnic, především jejich stability. Proto bude probrána především metoda Ljapunovovy funkce, která umožňuje i analýzu stability nelineárního systému. Pro návrh stabilizujícího řízení bude probrána metoda backsteppingu, která využívá tzv. řízené Ljapunovské funkce. Důraz však bude kladen na metody transformace stavových modelů nelineárních systémů do jednoduššího tvaru tak, aby bylo možné využít zavedených postupů pro lineární systémy, a to po určité nezbytné úpravě. Tomuto přístupu proto říkáme přesná kompenzace nelinearit. Od metody přibližné linearizace se liší tím, že nelinearity neignoruje, nýbrž, pokud možno co nejpřesněji, kompenzuje jejich vliv. Budou probrány i některé zajímavé příklady, jako řízení rovinného modelu letadla s kolmým startem a přistáním ("planar VTOL"), anebo jednoduchého rovinného kráčejícího robota.

    Obsah přednášek:

    1. Stavový popis nelineárního dynamického systému. Zvláštnosti nelineárních systémů a typické nelineární jevy. Nástin nelineárních postupů při návrhu řízení.

    2. Stabilita rovnovážných bodů. Metoda přibližne linearizace a metoda Ljapunovské funkce.

    3. Invariantní množiny a princip LaSalle. Exponenciální stabilita. Analýza vlivu aditivních poruch na asymptoticky, resp. exponenciálně stabilní nelineární systém.

    4. Stabilizace nelineárních systémů zpětnou vazbou pomocí řízené Ljapunovské funkce. "Backstepping".

    5. Návrh řízení pomocí strukturálních metod. Transformace systémů pomocí záměny stavových a vstupních proměnných.

    6. Návrh řízení pomocí strukturálních metod. Přesná zpětnovazební linearizace. Nulová dynamika a minimalita ve fázi.

    7. Struktura systémů s jedním vstupem a jedním výstupem. Přesná zpětnovazební linearizace, relativní stupeň, částečná linearizace a linearizace typu vstup-výstup, zjišťování nulové dynamiky a minimality ve fázi. Příklady.

    8. Struktura systémů s více vstupy a výstupy. Vektorový relativní stupeň, linearizace vstup-výstup a decoupling (odstranění vzájemných interakcí mezi vstupy), zjišťování nulové dynamiky a minimality ve fázi.

    9. Struktura systémů s více vstupy a výstupy. Příklady, dynamická zpětná vazba, příklad jejího využití pro rovinný model letadla s kolmým startem a přistáním.

    10. Další příklady praktického využití exaktní linearizace.


    Náplň cvičení:

    1. Příklady přírodních a technických systémů modelovaných nelineárními systémy. Řízení nelineárních dynamických systémů pomocí přibližné a přesné linearizace.
    2. Analýza stability nelineárních dynamických systémů. Ljapunovova funkce a princip La Salle.
    3. Řízení s využitím Ljapunovovy funkce a backstepping.
    4. Lieova derivace a její výpočet.
    5. Přesná linearizace dynamických systémů s jedním vstupem a výstupem.
    6. Přesná linearizace dynamických systémů s více vstupy a výstupy.

    The goal of this course is to introduce basics of the modern approaches to the theory and applications of nonlinear control. Fundamental difference when dealing with nonlinear systems control compared with linear case is that the state space approach prevails. Indeed, the frequency response approach is almost useless in nonlinear control. State space models are based mainly on ordinary differential equations, therefore, an introduction to solving these equations is part of the course.  More importantly, the qualitative methods for ordinary differential equations will be presented, among them Lyapunov stability theory is crucial. More specifically, the focus will be on Lyapunov function method enabling to analyse stability of nonlinear systems, not only that of linear ones. Furthemore, stabilization desing methods will be studied in detail, among them the so-called control Lyapunov function concept and related backstepping method. Special stress will be, nevertheless, given by this course to introduce and study methods how to transform complex nonlinear models to simpler forms where more standard linear methods would be applicable. Such an approach is usually refered to as the so-called exact nonlinearity compensation. Contrary to the well-known approximate linearization this method does not ignore nonlinearities but compensates them up to the best possible extent. The course introduces some interesting case studies as well, e.g. the planar vertical take off and landing plane ("planar VTOL"), or a simple 2-dimensional model of the walking robot.

         
    Lectures content

    1. State space description of the nonlinear dynamical system. Specific nonlinear properties and typical nonlinear phenomena. Nonlinear control techniques outlook.

    2. Stability of equilibrium points.  Approximate linearization method and Lyapunov function method.

    3.  Invariant sets and LaSalle principle. Exponential stability. Analysis of additive perturbations influence on asymptotically and exponentially stable nonlinear systems.

    4. Feedback stabilization  using control Lyapunov function. Backstepping.

    5. Control design using structural methods. Definition of   system transformations using the state and input variables change.

    6. Control design using structural methods. Exact feedback linearization. Zero dynamics and minimum phase property.

    7. Structure of single-input single-output systems. Exact feedback linearization, relative degree, partial and input-output linearization, zero dynamics computation and minimum phase property test. Examples.

    8.  Structure of multi-input multi-output systems. Vector relative degree, input-output linearization and decoupling, zero dynamics computation and minimum phase property test.

    9. Structure of multi-input multi-output systems.. Examples,  dynamical feedback, example of its application in the case study of the planar vertical take-off and landing plane.

    10. Further examples of the practical applications of the exact feedback linearization.
     
         
    Seminars content        

    1. Examples of natural and technological systems modelled using nonlinear systems. Comparison of the exact linearization and approximate linearization based control designs.
    2. Nonlinear dynamical systems stability analysis. Lyapunov function and LaSalle principle.
    3. Lyapunov-based control and the backstepping.
    4. Lie derivative and its computation.
    5. Exact feedback linearization of single-input single-output nonlinear dynamical systems.
    6. Exact feedback linearization of multi-input multi-output nonlinear dynamical systems.

    Hodnocení:


    Zápočet

    bude udělen na základě bodového hodnocení účasti na cvičeních, domácích úloh a dvou písemných kontrolních prací. Účast na cvičeních je povinná, případnou neúčast je třeba cvičícímu předem omluvit.  Celkově bude možné získat až 60 bodů, které budou započteny do hodnocení zkoušky, viz níže. V případě zisku alespoň 30 bodů bude zápočet udělen automaticky. Rozvržení maximálních počtů bodů je: 10 za docházku, 20 za domácí úlohy a 30 za kontrolní práce. Maximální počet bodů za docházku je udělen v případě nejvýše tří omluvených neúčastí. Za každou další omluvenou a za jakoukoliv neomluvenou neúčast budou strženy 2 body.

    Zkouška

    Sestává z ústní části, během které student odpoví podrobně a samostatně na dvě teoretické otázky náhodně vybrané ze seznamu otázek, který bude zveřejněn na tomto webu nejpozději týden před začátkem zkouškového období.  Dále mu mohou být zadány doplňující dotazy, které vyplynou z jeho předchozích odpovědí. Příprava  na tuto zkoušku trvá 30 minut s možným nahlédnutím do literatury a kopií projekčních materiálů přednášek. Během pohovoru se zkoušejícím však již zkoušený smí nahlížet jen do svých poznámek připravených během zmíněných 30 minut. Během písemné části, ani během přípravy na ústní část, není možné používat mobilní telefony a internet, proto také není možné používat cokoliv, co by mohlo, byť jen hypoteticky, připojení na internet poskytnout. Student je povinen se dále zdržet i jakýchkoliv dalších náznaků podvodného jednání, které bude posuzováno důsledně ve smyslu příslušných ustanovení platného studijního řádu. V případě vyčerpávající odpovědi ma obě otázky je možno získat až 40 bodů.

    Celkové hodnocení bude vycházet z počtu získaných bodů za zkoušku a za aktivitu během cvičení. Maximální součet bodů je tedy 100,  a hodnocení je následující:

    • 0 - 50 F
    • 51 - 60 E
    • 61 - 70 D
    • 71 - 80 C
    • 81 - 90 B
    • 91 - 100 A


    Evaluation


    Assesment

    Evaluation will be done based on points earned by presence at seminars,  homeworks and two written tests. Presence in seminars is obligatory. If there are serious reasons for missing the seminar, it should be notified before the particular seminar. Maximal amount of points earned in seminars is 60. All earned points will be counted for the exams evaluation later on. Assesment is automatically granted if 30 points or more are earned. Distribution of maximal number of points is: presence in seminars 10, homeworks 20 and written tests 30. Presence is evaluated as follows: full amount in case of three or less missed seminars notified before missed seminar. For any further absence, or for any absence without prior notification, 2 points will be deducted.

    Exams
    Exams will be oral, each student will receive randomly selected questions. List of questions will be published no later than week before start of the examination period. Preparation for answers will take 30 minutes, it is possible to shortly consult book and lecture slides. During the interview, only notes made by student during those 30 minutes preparation may be used. Quick additional related question, or tasks,  may be given during the interview as well. Use of computers, phones and internet is not allowed. Student should avoid any other behavior indicating possible violation of examination rules or other fraudulent behaviour. Maximal amount of points is 40.

    So, in total, maximal total amount of points earned both for seminars and exam is 100. Final evaluation marks are based on that total number of points earned as follows:

    • 0 - 50 F
    • 51 - 60 E
    • 61 - 70 D
    • 71 - 80 C
    • 81 - 90 B
    • 91 - 100 A

       

  • Lectures

    • Homeworks

      • This topic

        Literature



        H.K. Khalil, Nonlinear Control, Global Edition, PEARSON, 2015.

        Available in library