Zobecněná setrvačnost pro odvalující se disk (neřešený příklad 3.9 z Browna, strana 91)

Disk o hmotnosti m a poloměru r se bez prokluzování valí dolů po nakloněné rovině. Sklon této nakloněné roviny vzhledem k horizontální rovině je θ. Popište tuto situaci pomocí vazebního grafu při uvažování translační rychlosti středu disku coby zobecněnou rychlost. Určete modul prvku typu zobecněná setrvačnost. Najděte zrychlení středu disku.

[Řešení]

Neřešené příklady 3.3 a 3.4 z Browna (strana 84): zobecněná poddajnost u mechanického systému - kyvadlo

Kyvadlo se skládá z hmotného bodu o hmotnosti m zavěšeného na nehmotném závěsu o délce L. Při modelování nás zajímá pouze chování okolo svislého rovnovážného stavu. Vaše úkoly jsou:

  • Najít hodnotu modulu poddajnosti C uvažováním momentu, který působí na kyvadlo vychýlené ze svislé rovnovážné polohy.
  • Najít hodnotu toho stejného parametru poddajnosti C uvažováním potenciální energie (odvozené od gravitace), spojené s vychýlením z rovnovážné svislé polohy. Nápověda: použijte aproximaci \(\cos\theta\approx 1−\frac{1}{2}\theta^2\) (ale nejdříve si radší zkontrolujte, zda je tato aproximace správná).
  • Vyřešte oba předchozí kroky pro situaci, kdy budou hmotné závaží a nehmotný závěs nahrazeny prutem o délce L a hmotnosti m.

[Řešení]

Neřešený příklad 3.10 z Browna (strana 91): zobecněná setrvačnost u hydraulického  systému

Potrubí o délce L a vnitřním průřezu (ploše) A je naplněno kapalinou o hustotě ρ. Stejně tak jsou v této kapalině ponořeny oba konce potrubí. Tlak na jednom konci potrubí je P=ρgh, tlak na druhém konci je 0. Vyjádřete tuto situaci pomocí vazebního grafu za použití objemového prutoku Q coby zobecněného toku avšak zanedbejte ztráty na vstupu a výstupu. Nalezněte rychlost změny (prů)toku.

Neřešené příklady 3.11 a 3.12 z Browna (strana 91, 92): zobecněná setrvačnost u mechanického systému - kyvadlo

Uvažujte kyvadlo jako v prvním příkladě, a to v obou variantách (hmotná zátěž a nehmotný závěs, pouze hmotný závěs typu tyč homogenního průžezu i hmotnosti). Váš úkol tentokrát bude:

  • najít moment potřebný k vyvození úhlového zrychlení, zanedbejte přitom vliv gravitace (to bylo uděláno právě v tom prvním příkladu), a tímto způsobem odvoďte hotnotu parametru zobecněná setrvačnost vzhledem k úhlové rychlosti.
  • Zkontrolujte si, zda výraz \(\frac{1}{2}I\dot\phi^2\) s parametrem I  odvozeným v předchozím kroku je skutečně správnou kinetickou energií.

[Řešení]

Neřešený příklad 2.38 z Browna (strana 75)

Stejnosměrný motor je připojen ke zdroji popsanému  \(u = 20+5.5i\cdot i ^2\) (při použití jednotek V a A). Motor pohání mixer šlehající hustou hmotu (třebas těsto). Závislost kroutícího momentu na úhlové rychlosti je \(M = 2\dot \phi\) (kde jednotky jsou Nm a rad/s). Zanedbejte elektrický odpor, indukčnost vinutí i tření a modelujte systém jako vazební graf. Určete hodnotu klíčového parametru motoru, při které dojde k maximálnímu přenosu výkonu ze zdroje do zátěže (Brown požaduje maximalizaci rychlosti, ale spíše se přepsal).

Neřešený příklad 3.6 z Browna (strana 84): zobecněná poddajnost u pneumatického systému

Nalezněte hodnotu parametru zobecněné poddajnosti C pro systém sestávající z pístu stlačujícího vzduch uvnitř válce, a to vzhledem k veličinám F a x. Předpokládejme, že x << L a že vzduch funguje jako ideální plyn; zanedbejte tření a unikání vzduchu (leakage). Předpokládejte a) izotermické chování, b) adiabatické chování.

Naposledy změněno: středa, 30. září 2020, 20.23